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　Luttinger 液體與一維量子傳輸 文/栗育文

　本文簡介 Luttinger 液體最基本的一些概念。

　我們從一個特殊的角度， 亦即場論中的 chiral anomaly 的角度出發，闡述它和一維電子系統及量子傳輸的的關係。

　 I.為什麼要談 Luttinger 液體 本 期 物 理 雙 月 刊 的 主 題 是 介 紹 介 觀 物 理 (mesoscopic physics)。

　所謂介觀物理的研究對象， 指的是相位相干長度 (phase coherence length) 和物體尺寸大小相當的的系統， 換言之， 在討論這樣的系統時，量子力學的相位相干效應極為重要， 而古典的傳輸理論則失去其適用性。

　在這些系統中， 有許多都具小尺寸， 低維度的特 性。

　最典型的例子就是 量子點 (quantum dot) 與量子線 (quantum wire)。

　我在本文所要介紹的 Luttinger liquid 就是在研究相關系統時， 一個常用的出發點。

　在介紹 Luttinger 液體前， 我先用簡短的篇幅回顧一下二十世紀 凝態物理最 重要的一塊基石--- Landau 的費米液體 (Fermi liquid) --- 的概念。

　費米液體最重要的概念就是一個交互作用費米系統的基態以及 低能 激發 態 可以 用 所謂 的佔據數 (occupation

　來標記。

　換言之， 交互作用費米系統和自由費米系統的低能態間有一個一對一的對應關係。

　用更精確的多體物理的語言來說，

　費米液體的單粒子格林函數可以近似的寫為如下之形式：

　number) 0,1kn =1( , )ω( , )ω1

　(εRe ( , ))ωΣIm ( , )ωΣnear ,2τ( )ωkkkFkkGkkkikZiEωεωεω=−− Σ=−+−≈−+ 其中1( , )ωkkEZkωω== − ∂ Σ是所謂的 quasi-particle weight。

　從這個單粒子格林函數中， 我們可以讀出所謂的單粒子譜(single particle spectral weight) ()(),ω2Im,ω

　Lorentzian(),

　1kkkA kG kZEZω= −×−< 這個單粒子譜的重要性在於說它是一個可以直接透過穿隧實驗(tunneling experiment)量測的物理量 。(見圖一)

　因此從穿隧實驗測量到的單粒子譜， 便成為檢驗一個多體系統是否為費米液體的最重要佐證之一。

　為什麼電子間的交互作用對於一個多電子系統的影響只是在定量的層次上， 對自由費米氣體所給出的圖像給予一個修正， 而非定性的去改變系統的基態？這一方面是由於高密度電子氣體的屏蔽效應使得電子間的長程庫倫力變成短程力， 二方面則是因為動量守恆所帶來的相空間限制， 使得大部分散射通道都變的不太重要了。

　用重整化群的語言來說， 大部分的交互圖一 ( , )A k( , )kω( , )A k′( , )kω,( , )A k′1,2π2πqpqpAdωdωAZZωωω∞∫∞∫−∞−∞=+== −22k/τ( )ω(ω ξ)1/4kqpkZAτ=−+( )A ω′

　作用都是可忽略的 (irrelevant)。

　[1] 對於一個一維的費米系統， 仔細的重整化群分析得到的結論是[2]：

　電子 間 的 交 互 作 用int01( ) (V q n) ( )q n q2q∑HL≠=−是 marginal 的[3]。

　換言之， 這樣的系統其低能性質並不由費米液體所描述。

　取而代之的， 則是一個新的普適類(universality class) --- Luttinger 液體。

　底下我們就由一個特定的角度出發， 來了解一維電子系統的一些基本性質。

　 II. 一維電子系統與 chiral anomaly 一個一維的自 由電子系統可以由一個簡單的 Hamiltonian 所描述

　22kkkkHa am+=∑ 假設此系統之電子填到費米能級µ ， 則在費米能級 附 近 （Fkk= ±Hamiltonian 所描述：

　）

　的 電 子 可 用 一 個 簡 化 的 ,

　 ε()FkkkkFkkHa akkmε+=≈−∑ 其中 化的 Hamiltonian 恰好描述了一個質量為零， 速度為 的相對性 Dirac 電子的能譜。

　2Fkmµ=是該系統的費米動量。

　這樣一個簡/FFvvkm==假 設 我 們 對 此 電 子 氣 施 予 一 外 加 電 場 ， 則電子受外力加速。

　按照牛頓定律 ( )( )/E tdA tdt= −keE=， 電子在受力期間動量之改變為

　( ( )e A t(0)).ke dtE∫， 且電場作用一段時間以後關閉時，變為一常數。

　上述加速之過程造成電子系統右端（不妨想像這些電子是處在一條導線之中。

　）

　的化學勢有一個增量 A∆ == −− 假設(0)0A=( )A tA= RFFvkev Aµµµ=+∆ =− 類似的， 系統左端的化學勢也會降低上述相同大小的量。

　在這個過程中， 系統右端的電子數增加了

　2π2πRLLNkeA∆=∆ = − 同時系統左端的電子數也減少了一個相應的物理量。讀者大概已經注意到， 以上所描述的其實是一個量子輸運的過程。

　上面這個式子有另外一個有趣的理解方式。

　如我們想像這些電子是住在一個環上。

　此使， AL可以看做向量勢沿著環的積分。

　按照 Stoke 定理， 這恰恰是穿過這個環面的磁通量。

　而方程式右端剩餘的因子， 則正是所謂的單位磁通量（flux quantum）。換言之， 如果我們想像一個在一個導線環中心， 已緩慢的速率插入一和環面垂直的磁場， 則上式右方恰恰是在這過程中插入的磁通量數。

　因此這個量子輸運方程式告訴我們插入的磁通量數和電子傳輸的關係：

　每插入一個磁通量會導致一個淨粒子數為一的輸運。

　在進一步闡述這層關係前 ，讓我先從另一角度來看此問題 。

　上面提過， 費米點附近的電子其動量能量關係是線性的， 因此其低能量的激發態， 可以用一個一維的相對論性 Dirac 電子所描述：

　 [ (ψ)γ ψ]SdxdteAµµµ=∂ −∫ 這樣一個系 統中 可以 定義一 個所謂的 chiral 流2jµµψγ γ ψ=， 而這個 chiral 流的時間分量0j恰恰好就是往左跑和往右跑的電子數之差。

　按照上述結果，當此一為電子系統處於外場中時， 會有電子由左端跑到右端。

　在 Dirac 電子的角度來看， 這相當於以下的結果 00(( )(0))22Ldxdtjdx j tjeAµµπ∂=−= −∫∫ 這個方程式其實是量子場論中有名的 chiral anomaly

　 ,2πejFFAνAµµµνµνµνµνµε∂= −= ∂− ∂ 方程式的積分形式。

　上面簡短 （而且有些不太嚴謹的）的討論告訴我們， 一維的電子傳輸和 chiral anomaly間有著密切的關係。

　除了量子傳輸之外， chiral anomaly 在一維電子系

　統的波色化理論中， 也扮演著舉足輕重的腳色。

　底下我們簡單的勾勒一下這個故事的概貌。

　讓我們考察一個一維電子系統在外場中的自由能

　[ ()γ ψ]log.dxd∫ieAFD eψµµµτ ψ−∂ −= −∫ 若我們將向量勢寫為 Aµµµνν∂ξεφ= ∂+， 則我們很容易從上式看出/δφFeεµµνν∂δψγ ψ=。利用二維 γ矩陣的特殊性質5iεµνµνγ γγ= −， 我們得到

　252φ/δφ.eFieµµδψγ γ ψπ= − ∂= −∂ 因此我們得到()222Fedxdµπτφ=∂∫。

　如果你有一點量子場論的基礎的話， 應該不難看出， 這個自由能也可以由 以下這個一維的相 對論性自 由 玻色子（Boson）

　所描述：

　 21[()]8π2πlogiedxd∫AFD eθµνµ ν∂τθ∂εθ−+= −∫ 這個式子的重要性在於它建立了一維相對論性自由電子和一維相對論性自由波色子的等價性。

　並且我們還得到了一個重要的結果：

　Dirac 電子的流可以用一個波色場來表示：

　 2πijµµνν∂εθ= − 上述討論的妙處在於它不僅僅可以用於自由電子系統。

　事實上， 透過更細緻的討論， 人們發現即便我們考慮到電子間的 （至少是某些類常見的）交互作用，我們仍然可以建立一個類似的等式。

　唯一的代價， 是此時我們必須引入一個額外的參數， 用來描述交互作用的強度。

　換言之， 一個交互作用電子系統等價於一個作用量如下之波色系統

　21[()],2πieSdxdAgµθ∂µµνν∂τεθπ=−∫ 上式中的常數 g 即是所謂的 Luttinger 參數。

　通常而言，1g < 對應到粒子間的排斥力， 而粒子間的吸引力。

　當然， 當1g > 則對應到1g = 時， 我們就回歸到自由粒子的情形。

　如果我們從這個交互作用的理論出發， 重新分析所謂的 chiral anomaly， 你會發現這時候， anomaly 方程式的形式相對於自由場的形式， 有了一些變化。

　因為上面 Luttinger 參數的引進， 新的 anomaly 方程式變為

　2πegjFµµµνµνε∂= − 前面曾經提過， 場論中的 anomaly 方程式其實可以看做是一個一維電子系統的量子輸運方程式。

　當系統存在交互作用時， 方程式右方的常數因子 g 會造成什麼改變呢？ 如同我們先前考慮一個自由系統時一樣， 假設我們加入一個適當的電場， 或像先前一樣考慮一個電流環， 然後緩漸的插入一個磁通量。

　當我們插入一個磁通量時， 先前的自由系統會傳輸一個單位的電荷。

　可是現在， anomaly 方程式告訴我們， 當考慮到電子的交互作用時， 系統傳輸的電荷將是 ge ！

　這結果是相當令人驚奇的， 記的我們前面曾提過， 當系統存在庫倫斥力時，1g < 。

　這意味著系統中存在有分數化的電荷（fractionalized charge）， 而且即使這個交互作用很弱， 上述結論仍然成立。

　前面提過， 在高維的交互作用電子系統中， 電子間的交互作用並不改變自由電子所給出的定性圖像。

　所以上述討論說明了一維交互作用電子系統和一般費米液體理論的做重大的一個差異：

　電荷數為一的準粒子不再是系統的元激發（elementary excitations）

　。這個重大的差異有著實驗上的重要性：

　前面提過 Landau 費米液體的一個重要的實驗現象是在做單電子穿隧實驗時， 可以從量測的穿遂電流譜中， 看到一個尖銳的窄峰。

　這個窄峰就反映了準粒子的能譜。

　因此當我們對 Luttinger 液體做電子穿遂實驗時， 我們所量測到的就不再是一個窄峰，取而代之的是一個較寬的譜（ 所謂的 broadened incoherent spectrum）。

　相關的穿遂實驗已經在量子霍爾系統及奈米炭管施行了， 而結果也和理論符合的相當好。

　回頭討論上面所談的輸運方程式。

　不難發現它也

　可 以 轉 為 一 般 所 熟 悉 的 I-V 關 係 。

　將 方 程 式2πRLNeA∆=對時間微分， 注意到電場的積分恰是導線兩端的電位差， 則上述方程式變成（我們已把原先設為一的 Plank 常數除已 2π 放回去）

　 2/.Ieh UGUh 。

　考慮到系統的自== 這意味著一維導線的電導是旋， 上述答案要乘以二。

　另外當系統的費米能及增加時， 有更多的能帶會貢獻於系統的電導。

　於是當我們預期以電導對電子數（在實際實驗上， 系統中的電子數是由所謂 gate voltage 所控制。

　因次作圖時， 橫座標實際上是用該電壓。

　）

　做圖時我們會看到一個以h 為單位的階梯狀圖形 （見圖二）。

　這個結果也已為實驗所證實。

　細心的讀者可能會有一個疑問， 為什麼一個自由系統會有一個有限電導？ 答案是實際的物理系 統中 ， 這個 一維系 統總 是連結到一 個熱庫 (metallic leads)。

　因此這個一維電子在離開導線後， 是必須透過交互作用和各種散射機制來和熱庫達成熱平衡的。

　在上述的討論中， 我們將 right-moving 和left-moving 的電子的動量的增量或她們的化學勢當成是熱庫（leads）

　的化學勢時， 我們已經將上述耗散的過程隱藏在”變界條件”內了。

　2/e22/e 再次回到 anomaly 方程式， 前面關於交互作用系統的討論， 大概足以讓讀者猜到當考慮到交互作用時， 系統的電導將變成

　2/Ggeh= 換言之， 我們可以透過簡單的直流傳輸實驗， 檢測到 Luttinger 液體的證據。

　可是事實上， 幾乎所有的實驗都和前面談到的自由電子模型相符合， 換言之， 都是π 的整數倍。

　難道是我們的 Luttinger 模型出錯了嗎？ 各種實驗裝置下的屏蔽效應顯然不該是問題的答案， 因為我們前面提到過， 一維教互作用電子系統是由 Luttinger 模型所描述這件事和交互作用的強度無關。

　就如同前面談到的耗散機制一樣， 這個問題的答案[4]， 仍然需透過考察一維電子系統所連結的 leads 的效果方能解答。

　實驗上的系統總是連結到金屬的 leads， 而這個熱庫是由一般的費米液體理論所描 述 。

　因 此 幾 組 理 論 家 [4] 提 出 用 所 謂 的inhomogeneous Luttinger 模型來討論相關的傳輸性質。

　在這個模型， Luttinger 參數不再是一常數， 而是一個往導線左（右）

　漸進趨近於數。

　根據這個模型所重新計算的結果顯示， 直流電導的確回歸到自由電子的答案。

　也就是說， 我們似乎無法由簡單的直流實驗中觀測到交互作用的效果。

　從物理上講， 大致的原因是當我們做直流電導的量測時，我 們 實 際 上 激 發 的 是 系 統 中 極 低 頻 的 聲 波（plasmon）。

　從而它們在空間上主要反映的是導線外g = 的區間的物理性質。因此一維導線中的交互作用沒辦法在其中反映出來。

　這是不是意味著從討論 Luttinger 液體或交互作用系統的關聯效應的角度來看， 直流傳輸實驗是相當無趣的呢？ 這倒也不盡然。底下我就用簡短的篇幅簡單提一下一些比較新的進展。

　2/2e1g = 的一個空間的函1 III. 一些較新的故事 上面所提關於直流傳輸的故事大概都有將近十年的歷史了。

　可是有一些關於直流傳輸的實驗結果一直困擾著大家。

　實驗上所量測到的電導大約如圖二所示。

　細心的讀者大概注意到在電導平台在階梯的邊緣似乎不甚平整。

　有些實驗家們對這些小小的"瑕疵”做了更仔細的實驗分析 ，他們發現當溫度逐漸升高時 （說是升高， 也不過是1K 左右的溫度。

　讀者須記住這裡所談的物理都是在即低溫下才有的結果。

　）

　電導-電壓

　圖似乎有某些結構出現：

　在電導平台的前緣似乎出現一個小的平台。

　實驗上把這樣一個現象叫做 0.7 structure。

　特別的是， 這個特殊的結構似乎和導線的結構有些關聯：

　一般而言， 在較短的導線中這個結構較不明顯。

　相反的， 在較長的樣品中， 這個結構較顯著，可以在較大範圍的溫度中觀測到， 而且這個”準平台”（quasiplateau）

　似乎會移到原來一半的位置， 也就是電導為0.5 (2/ )Geh=×2處。

　先撇開實驗結果， 從物理條件上來說， ...

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